Soient p et q deux réels. On pose  a = p  +  q 2   et  b = p  −  q 2 .
Utiliser les formules qui donnent  cos ( a + b )   et  cos ( a − b )   pour établir les égalités : cos p  +  cos q  =  2 cos p  +  q 2  cos p  −  q 2 cos p  −  cos q  =   − 2 sin p  +  q 2 sin p  −  q 2
On remarque que : a  +  b  =   p  +  q 2 + p  −  q 2 = p et  a − b = p  +  q 2 − p  −  q 2 = q ⇔ cos p + cos q  =  cos ( a + b )   +  cos ( a − b ) = ( cos a cos b  −  sin a sin b )   +   ( cos a cos b  +  sin a sin b ) =  2 cos a cos b  =  2 cos  p  +  q 2  cos p  −  q 2 ⇔  cos p  +  cos q  =  2 cos p  +  q 2  sin p  −  q 2 cos p − cos q  =  cos ( a + b )   −  cos ( a − b ) = ( cos a cos b  −  sin a sin b )   −   ( cos a cos b  +  sin a sin b ) =   − 2 sin a sin b  =   − 2 sin p  +  q 2  sin p − q 2 ⇔  cos p  −  cos q  =   − 2 sin  p + q 2  sin  p − q 2
Utiliser les formules qui donnent  sin ( a  +  b )   et  sin ( a  −  b )   pour établir les égalités : sin p   +   sin q   =  2 sin p  +  q 2 cos p  −  q 2 sin p  −  sin q   =   2 sin p  −  q 2 cos p  +  q 2
sin p   +   sin q   =  sin ( a  +  b )   +  sin ( a  −  b ) =   ( sin a cos b  +  sin b cos a )   +   ( sin a cos b  −  sin b cos a ) =  2 sin a cos b  =  2 sin p  +  q 2 cos p  −  q 2 ⇔  sin p  +  sin q  =  2 sin p  +  q 2 cos p  −  q 2   sin p   −   sin q   =  sin ( a  +  b )   −  sin ( a  −  b ) =   ( sin a cos b  +  sin b cos a )   −   ( sin a cos b  −  sin b cos a ) =  2 sin b cos a  =  2 sin p  −  q 2 cos p  +  q 2 ⇔  sin p  −  sin q  =  2 sin p  −  q 2 cos p  +  q 2  






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