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Calculer  cos 2a  et  sin 2a, sachant que  sin a = \frac{1}{3} et  a \in [0; \frac{π}{2}] .

\begin{array}{l} Pour tout réel a,  cos 2a = 1 - 2 {sin}^{2} a \\ Donc  cos 2a = 1 - 2 \times {(\frac{1}{3})}^{2} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \\ Pour tout réel a,  sin 2a = 2 sin a cos a \\ et {cos}^{2} a + {sin}^{2} a = 1 \\ \Leftrightarrow cos a = \pm \sqrt{1 - {sin}^{2} a} = \pm \sqrt{1 - {(\frac{1}{3})}^{2}} = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ x appartient à [0; \frac{π}{2}] donc  cos a \geq 0 \\ donc  cos a = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ donc  sin 2a = 2 sin a cos a = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{4 \sqrt{2}}{9} \end{array}

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