A partir des formules     cos ( a + b )     et     cos ( a   −   b ) ,   établir les formules suivantes   ( linéarisation )   : cos a cos b   =   1 2 cos ( a + b ) + cos ( a − b ) sin a sin b   = 1 2 cos ( a − b ) − cos ( a + b )
On a     cos ( a + b ) = cos a cos b   −   sin a sin b et     et    cos ( a − b ) = cos a cos b   +   sin a sin b Par addition membre à membre : cos ( a + b ) + cos ( a − b ) = 2 cos a cos b ⇔ cos a cos b   = 1 2 cos ( a + b ) + cos ( a − b ) Par soustraction membre à membre : cos ( a − b ) − cos ( a + b ) = 2 sin a sin b ⇔ sin a sin b   =   1 2 cos ( a − b ) − cos ( a + b )
Démontrer que, quel que soit les réels x, y et z, on a l'égalité suivante :

sin x sin (y - z) + sin y sin (z - x) + sin z sin (x - y) = 0
On utilise la relation : sin a sin b   = 1 2 cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ⇔ ⇔ sin x sin  ( y  −  z ) = 1 2 cos ( x − ( y − z ) ) − cos ( x + ( y − z ) = 1 2 cos ( x − y + z ) − cos ( x + y − z ) sin y sin  ( z  −  x ) = 1 2 cos ( y − ( z − x ) ) − cos ( y + ( z − x ) = 1 2 cos ( x + y − z ) − cos ( − x + y + z ) sin z sin  ( x  −  y ) = 1 2 cos ( z − ( x − y ) ) − cos ( z + ( x − y ) = 1 2 cos ( − x + y + z ) − cos ( x − y + z ) ⇔  sin x sin  ( y  −  z )   +  sin y sin  ( z  −  x )   +  sin z sin  ( x  −  y )   = 1 2 cos ( x − y + z ) − cos ( x + y − z ) + cos ( x + y − z ) − cos ( − x + y + z ) + cos ( − x + y + z ) − cos ( x − y + z ) = 1 2 cos ( x − y + z ) − cos ( x + y − z ) + cos ( x + y − z ) − cos ( x − y − z ) + cos ( x − y − z ) − cos ( x − y + z )        car cos  ( − a ) = cos a = 0






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