Déplacez-vous sur le cercle en déplaçant le point rose.
Visualisez sur le repère du bas le chemin parcouru (ou abscisse curviligne) sur le cercle depuis le point A.
Remarquez qu'en tournant dans le sens direct, le chemin augmente, et qu'il diminue dans le sens contraire.
Remarquez qu'en tournant toujours dans le même sens sur le cercle, le chemin part vers +∞ ou vers −∞ .
Ainsi, à tout nombre réel, on peut associer un point sur le cercle : il correspond à la longueur du chemin parcouru sur le cercle depuis le point A.
Si le nombre est négatif, le chemin est parcouru dans le sens indirect.

Pour un point du cercle, il y a une infinité de chemins possibles pour atteindre ce point (on peut rajouter ou retrancher 1 tour, 2 tours...), un même point a donc une infinité d'abscisses curvilignes :
Ainsi, si x est l'abscisse curviligne d'un point du cercle, ce même point a aussi pour abscisse curviligne :
x+2π, x+4π, x+6π..
x-2π, x-4π, x-6π..
c'est-à-dire x+2kπ avec k ∈Z