Exprimons les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ : $$\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}})+(\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}})\left\{\mathrm{Relation}\mathrm{de}\mathrm{Chasles}\right\}\\ =\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\\ =\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}-\overrightarrow{\mathrm{DA}}\\ =\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}\end{array}$$
On a donc : $$\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$$