Soit x ans, l'âge de la plus jeune et y ans l'âge de l'aînée.
Il y a 5 ans, la plus jeune était âgée de (x-5) ans et la plus âgée de (y-5) ans.
On doit avoir d'après l'énoncé :
$x-5=\frac{2}{3}\left(y-5\right)$
Dans un an, la plus jeune sera âgée de (x+1) ans et la plus âgée de (y+1) ans.
On doit avoir :
$x+1=\frac{3}{4}\left(y+1\right)$
On obtient le système :
$$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-5=\frac{2}{3}(y-5)\\ x+1=\frac{3}{4}(y+1)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-\frac{2}{3}y=\frac{5}{3}\\ x-\frac{3}{4}y=-\frac{1}{4}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}-\frac{2}{3}y+\frac{3}{4}y=\frac{5}{3}+\frac{1}{4}(1)-(2)\\ x=\frac{3y-1}{4}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}y\left(\frac{-8+9}{12}\right)=\frac{23}{12}\\ x=\frac{3y-1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y\times \frac{1}{12}=\frac{23}{12}\\ x=\frac{3y-1}{4}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=23\\ x=\frac{3\times 23-1}{4}=\frac{69-1}{4}=17\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=17\\ y=23\end{array}\right.\end{array}$$
La personne la plus jeune a 17 ans et la plus âgée a 23 ans.