Calculer cos π 5 + cos 2 π 5 + cos 3 π 5 + cos 4 π 5 + cos 5 π 5 + cos 6 π 5 + cos 7 π 5 + cos 8 π 5 + cos 9 π 5

Remarque : on peut chercher avec l'aide du cercle trigonométrique à regrouper deux par deux les termes qui s'annulent.
cos 9 π 5 = cos π + 4 π 5 = − cos 4 π 5       car cos π + a = − cos a ⇔ cos 9 π 5 + cos 4 π 5 = 0 cos 8 π 5 = cos π + 3 π 5 = − cos 3 π 5       ⇔ cos 8 π 5 + cos 3 π 5 = 0 cos 7 π 5 = cos π + 2 π 5 = − cos 2 π 5       ⇔ cos 7 π 5 + cos 2 π 5 = 0 cos 6 π 5 = cos π + π 5 = − cos π 5       ⇔ cos 6 π 5 + cos π 5 = 0 Donc cos π 5 + cos 2 π 5 + cos 3 π 5 + cos 4 π 5 + cos 5 π 5 + cos 6 π 5 + cos 7 π 5 + cos 8 π 5 + cos 9 π 5 = cos π 5 + cos 6 π 5 + cos 2 π 5 + cos 7 π 5 + cos 3 π 5 + cos 8 π 5 + cos 4 π 5 + cos 9 π 5 + cos 5 π 5 = cos  π = − 1
Calculer sin π 5 + sin 2 π 5 + sin 3 π 5 + sin 4 π 5 + sin 5 π 5 + sin 6 π 5 + sin 7 π 5 + sin 8 π 5 + sin 9 π 5
sin 9 π 5 = sin π + 4 π 5 = − sin 4 π 5       car sin π + a = − sin a ⇔ sin 9 π 5 + sin 4 π 5 = 0 sin 8 π 5 = sin π + 3 π 5 = − sin 3 π 5       ⇔ sin 8 π 5 + sin 3 π 5 = 0 sin 7 π 5 = sin π + 2 π 5 = − sin 2 π 5       ⇔ sin 7 π 5 + sin 2 π 5 = 0 sin 6 π 5 = sin π + π 5 = − sin π 5       ⇔ sin 6 π 5 + sin π 5 = 0 Donc sin π 5 + sin 2 π 5 + sin 3 π 5 + sin 4 π 5 + sin 5 π 5 + sin 6 π 5 + sin 7 π 5 + sin 8 π 5 + sin 9 π 5 = sin π 5 + sin 6 π 5 + sin 2 π 5 + sin 7 π 5 + sin 3 π 5 + sin 8 π 5 + sin 4 π 5 + sin 9 π 5 + sin 5 π 5 = sin  π = 0






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